「名刺」の材質は紙ですから、「名紙」の方がピンとくると思われる方も多いと思いますが…。
何故、「紙」ではなく「刺」なのでしょうか。
この「名刺」という漢字ですが、中国の古い言葉です。
そのルーツは、起源前3世紀頃の漢の国で初めて使ったという説があり、一般的には7世紀頃の唐の時代に広く使われるようになったようです。
まだ「紙」というものがなかった時代、訪問した相手が不在だったとき、木や竹を削った札に自分の名前を書き、戸口に「刺して」訪問したことを残していました。
その木や竹の札が「刺」と呼ばれたのです。
「名」を戸口に「刺す」のだから「名刺」。
当時も「名刺」は身分の高い人を訪問した際に面会の取次ぎとして使われていたり、挨拶に際して交換されていたりしたそうですから、使用方法は現在と同じようなものだったのですね。
編集後記
「名刺」を口語辞典（新明解国語辞典第七版）で調べてみると、「〔『刺』は名札の意 小型・厚めの白い紙に、名前などを印刷した物。日本で、初対面の時などに出す」とあります。
因みに、現在の中国では「名刺」という漢字は使われていません。
名刺を表す言葉は「名片（ピンイン）」です。
Google翻訳で日本語の「名刺」が中国語で「名片」に翻訳されるか確認していたところ…、
慌てものですよね～、中国語に「名刺」って入れたものですから、「有名なとげ」と翻訳されちゃいました（笑）